有结论 $\dfrac{\sin^2\theta}{{e_1}^2} + \dfrac{\cos^2\theta}{{e_2}^2} = 1$

进行推广 $\dfrac{\sin^2\alpha}{{e_1}^2} + \dfrac{\cos^2\beta}{{e_2}^2} = \sin^2\alpha + \cos^2\beta$

则 $S=b^2\tan\alpha-{b’}^2\cot\beta$

运用条件极值

$$f(\alpha,\beta,\lambda)=S+\lambda[(\dfrac{1}{{e_1}^2}-1) \sin^2\alpha + (\dfrac{1}{{e_2}^2}-1)\cos^2\beta]$$

分别对三个元求偏导

$$f’_\alpha=b^2\sec^2\alpha + 2\lambda(\dfrac{1}{{e_1}^2}-1)\sin\alpha\cos\alpha=0$$

$$f’_\beta={b’}^2\csc^2\alpha – 2\lambda(\dfrac{1}{{e_2}^2}-1)\sin\beta\cos\beta=0$$

$$f’_\lambda=(\dfrac{1}{{e_1}^2}-1) \sin^2\alpha + (\dfrac{1}{{e_2}^2}-1)\cos^2\beta=0$$

联立以上三式可以得出

$$\sin\alpha=A\cos\beta$$

$$\cos\alpha=B\sin\beta$$

其中 $A,B$ 均是与 $\alpha,\beta$ 无关的式子

由条件极值的原理，可以得出此时求出的 $\alpha,\beta$ 就是一个极值点，也就是本题求的面积极大值点