解析几何

by lushuyu | 2020年10月10日 下午8:12

前言

这篇文章记载了高中解析几何中比较有意思的几个知识点。

定比点差法

点差法

我们都很熟悉。

若点 $A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)$ 在二次曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}\pm \dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上,且弦 $AB$ 的中点为 $M(x_0,y_0)$ ,则有:

$$\dfrac{1}{a^2}\pm \dfrac{1}{b^2}\times \dfrac{y_1+y_2}{x_1+x_2} \times \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2} = 0$$

$$k_{OM} \times k_{AB} = \mp \frac{b^2}{a^2} = e^2-1$$

在抛物线中:

$$k_{AB} \times y_0 = p$$

定比点差法

方法

若点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$在有心二次曲线 $\dfrac {x^2}{a^2}\pm\dfrac {y^2}{b^2}=1$ 上,则有

$$\dfrac {x_1^2}{a^2}\pm\dfrac {y_1^2}{b^2}=1,\dfrac {\lambda ^2x_2^2}{a^2}\pm\dfrac {\lambda ^2y_2^2}{b^2}=\lambda ^2$$

两式作差得

$$\dfrac {(x_1+\lambda x_2)(x_1-\lambda x_2)}{a^2}\pm \dfrac {(y_1+\lambda y_2)(y_1-\lambda y_2)}{b^2}=1-\lambda ^2.$$

这样就得到了

$$\dfrac {1}{a^2}\cdot\dfrac {x_1+\lambda x_2}{1+\lambda }\cdot\dfrac {x_1-\lambda x_2}{1-\lambda }\pm\dfrac {1}{b^2}\cdot\dfrac {y_1+\lambda y_2}{1+\lambda }\cdot\dfrac {y_1-\lambda y_2}{1-\lambda }=1.$$

练习

练习1 (2008高考数学安徽卷理科)设椭圆C:$\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1(a>b>0)$过点$M(\sqrt 2,1)$,且焦点为$F_1(-\sqrt 2,0).$

(1)求椭圆的方程;

(2)过点$P(4,1)$的动直线$l$与椭圆$C$相交于不同点$A,B$时,在线段$AB$上取点$Q$,满足$|AP|\cdot|QB|=|AQ|\cdot|PB|$,证明:点$Q$总在某定直线上.

答案 (1)$\dfrac {x^2}{4}+\dfrac {y^2}{2}=1$;(2)点$Q$在直线$2x+y-2=0$上.

练习2 已知过椭圆$\dfrac {x^2}{2}+y^2=1$的左焦点F的直线交椭圆于$A,B$两点,且有$\overrightarrow {FA}=3\overrightarrow {BF}$,求点A的坐标.

答案 $A(0,\pm 1).$

定比点差法实际上是直线的参数方程的变异形式,只不过将其中的$t$变作了$\lambda$,也就是说只要是共线点列的问题都可以在考虑运用直线的参数方程的同时考虑定比点差法.定比点差法在处理圆锥曲线上过定点的直线的证明题时往往可以起到简化运算的作用.但定比点差法无法应用于抛物线,并且它采用的参数$\lambda$在解析几何问题中并不通用,在求解具体的斜率、弦长与面积时往往会引起运算上的麻烦(当然,求坐标还是很简便的),所以并不是所有的共线问题都适用用定比点差法解决.

引用资料

https://zhuanlan.zhihu.com/p/33848881

解析几何之“定比点差法”[1]
这里题目比较多

焦点弦定理

方法

一条圆锥曲线过焦点的直线倾斜角与两条焦点弦长的比值 $\lambda$ 的关系 $$e\cos\theta=|\frac{\lambda-1}{\lambda+1}|$$

引用资料

https://zhuanlan.zhihu.com/p/33128067[2]

Endnotes:
  1. 解析几何之“定比点差法”: http://lanqi.org/skills/14396/
  2. https://zhuanlan.zhihu.com/p/33128067: https://zhuanlan.zhihu.com/p/33128067

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